“Fractionele dimensie”?
Dit bericht gaat over fractals. Zoals beloofd. Frappante Fractals. Wat zijn dat? De naam “fractal” komt uit de wiskunde en verwijst naar een niet-geheeltallige dimensie. Kort door de bocht: je hebt lijnen (1-dimensionaal) en vlakken (2-dimensionaal) en daartussen fractalen. Vandaar de naam. Veel mensen denken bij fractalen aan dit soort figureren:
WaT zie ik hier?
Dit is een visualisatie van een Mandelbröt-verzameling. Dat ga ik proberen uit te leggen zonder wiskundig al te worden. De essentie is dat je begint met een punt op een vlak en dat punt wordt met zichzelf vermenigvuldigd. Het resultaat is een ander punt in hetzelfde vlak. Dan doe je met dat resultaat telkens hetzelfde: kwadrateren, kwadrateren, etc.. Door deze itererende berekening beweegt het punt door het vlak en komt al dan niet verder van het middelpunt af te liggen. Als het punt verder dan een bepaalde drempelafstand van het midden is verwijderd, stopt de iteratie. Je stopt ook als het maximum aantal iteraties (vooraf gekozen) is bereikt.
Inkleuren
Het aantal iteraties dat nodig is om boven die drempelafstand uit te komen bepaalt de kleur van het punt dat je als uitgangspunt hebt gekozen. Dus het hele iteratie-proces resulteert in één gekleurd punt per keer. Als twee punten allebei bijv. 183 iteraties nodig hebben, krijgen ze dezelfde kleur. In het bovenstaande figuur is dit iteratie-proces voor ieder punt, iedere pixel, uitgevoerd. In totaal is dit iteratie-proces ruim 600.000 keer uitgevoerd, voor ieder punt in het originele plaatje (959 bij 633 pixels). Voor één plaatje. De zwarte punten zijn punten die na het maximaal aantal iteraties de drempelwaarde niet bereikt hebben.
Als je een stukje inzoomt op de grensregio, dan zie je bijvoorbeeld dit:
Oneindig en toch ook niet
Waarom is zo’n fractal bijzonder en een bron van verwondering? Eén reden is dat het concept oneindig ermee kan worden verkend. De punten die niet de grensafstand overschrijden vormen met elkaar een verzameling, in dit geval dus de Mandelbröt verzameling (genoemd naar Benoït Mandelbröt, een Frans-Amerikaanse wiskundige, van Poolse geboorte, die het als eerste bestudeerde). De oppervlakte ervan is eindig, maar de omtrek is oneindig én gesloten. Probeer je dat eens voor te stellen. Een weilandje met een oneindig lange afrastering, die nergens onderbroken is …
Twintigduizen mijlen ingezoomd
Zo’n fractal is een avontuur om te onderzoeken. De oneindigheid betekent bijvoorbeeld dat je oneindig kun inzoomen. En waar je ook bent, je kunt altijd weer oneindig vérder inzoomen. De landschappen die je ziet zijn telkens anders, en toch lijkt het op elkaar. Grappig is dat de basisvorm telkens (= oneindig vaak) weer terugkomt, zoals in bovenstaande afbeelding (wat je ziet als je inzoomt op één van de vele ’tentakels’). Maar telkens is die figuur toch ook nét even anders. Wat je pas ziet als je er verder op inzoomt. Daardoor is wel een beetje verslavend… Nog één plaatje ‘om het af te leren’:
Een beeld van de oneindige details die je kunt waarnemen… Wat je noemt: Frappante Fractals!
Ikke zelluf doen ….
Ik kan me goed voorstellen dat de lezer dit zelf zou willen ontdekken. Dat kan! Het is niet ingewikkeld. Ik heb deze afbeeldingen gemaakt met Quickman, een gratis programma. Proberen worden aangemoedigd, verwondering in overvloed!
Over de visuele bijzonderheden, een volgende keer meer…
Recente reacties